3.5 Quadratic Inequalities

二次不等式核心要点总结

本章节主要学习二次不等式的解法，包括标准形式二次不等式和分式不等式的求解方法。

形如 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 或 \( ax^2 + bx + c < 0 \) 的不等式，其中 \( a \neq 0 \)，称为二次不等式。

使二次不等式成立的所有实数\( x \)的集合，解集通常为区间形式。

移项整理：将不等式整理为 \( ax^2 + bx + c \Box 0 \) 的标准形式。
求临界值：解对应二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，求出根（若存在）。
分析抛物线：根据二次项系数 \( a \) 判断抛物线开口方向：
- \( a > 0 \)：开口向上，二次函数在两根之间小于0，在两根外大于0；
- \( a < 0 \)：开口向下，二次函数在两根之间大于0，在两根外小于0。
确定解集：结合临界值和开口方向，写出解集的区间形式。

设二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两根为 \( x_1, x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）：

\( a > 0 \)（开口向上）	\( x_1 \) 左侧	\( x_1, x_2 \) 之间	\( x_2 \) 右侧
\( y \) 符号	\( + \)	\( - \)	\( + \)

口诀记忆："大子小，跨两边；小于大，跨中间"。对于开口向上的抛物线，\( y > 0 \) 解在两根外，\( y < 0 \) 解在两根间。

任何二次不等式都可以通过移项转化为：
\( ax^2 + bx + c > 0 \) 或 \( ax^2 + bx + c < 0 \)
其中 \( a \neq 0 \)

二次不等式是A-Level数学的重要内容，掌握其解法对理解函数性质和解决实际问题都至关重要。通过本章节的学习，应熟练掌握标准二次不等式的解法，理解抛物线与不等式解集的关系，并能灵活处理各种变形。

核心要点：